Бонус за ребалансировку портфеля: теория и практика

09 сентября 2016

Приложение к статье: файл для скачивания

Автор

Антон
Хмеленко

Ребалансировка портфеля является одним из ключевых моментов при управлении активами с точки зрения современной теории портфеля. Многие источники даже называют ребалансировку единственно возможным «бесплатным обедом» на фондовом рынке. Тем не мене практика показывает, что многие даже весьма продвинутые валадельцы портфелей не слишком глубоко понимают, откуда берется этот «бесплатный обед», и, самое главное, всегда ли ребалансировка дает какие-то бонусы.

Ниже мы приводим перевод статьи У. Бернстайна, известного у нас в стране прежде всего благодаря своей книге Разумное распределение активов, с довольно продвинутыми выводами относительно эффектов ребалансировки, прогнозирования ее результатов и оптимальной частоты. Статья написана, конечно, не для начинающих инвесторов и содержит некоторые достаточно непростые для понимания моменты, очевидно, потому, что Бернстайн публиковал это исследование для коллег-исследователей занимающихся портфельной теорией. Тем не менее выводы исследования сугубо практичны и могут значительно помочь в понимании механизмов, скрытых за формулировкой «ребалансировка».

Для лучшего понимания мы рекомендуем повторить математические действия, описываемые Бернстайном, самостоятельно. Это довольно несложно сделать в EXCEL. В помощь мы предлагаем файл в формате EXCEL, где мы воспроизвели наиболее интересные расчеты.

Действительная доходность при ребалансировке портфеля обычно превышает ожидаемую доходность, рассчитанную из взвешенной суммы доходностей компонентов. Формула для оценки этого превышения доходности получена и проверена. Показано, что активы с высокой волатильностью и низкой корреляцией к остальной части портфеля обеспечивают значительное превышения доходности, или так называемый "бонус за ребалансировку."

Введение

Давайте предположим, что желаемый портфель состоит из 50% акций S&P500 и 50% долгосрочных казначейских облигаций США (Если Вы зашли настолько далеко, что оказались на этом сайте, Вы, вероятно, уже знаете, что это довольно нежелательный состав портфеля. Просто он служит хорошим примером). Поскольку доходности по этим двум активам часто движутся в разных направлениях, то портфель в конечном счете смещается от желаемого соотношения 50%/50%. Если вы хотите, поддерживать соотношение 50%/50%, то часть некоторых из наиболее эффективных активов должна быть продана или обменяна на равную по стоимости часть менее доходного актива. Эта операция известна как восстановление баланса портфеля (или просто ребалансировка). Понимание механики восстановления баланса имеет основополагающее значение для рационального управления портфелем, и все же на удивление мало внимания было уделено теории этого процесса.

Возникают три основных вопроса, касающиеся ребалансировки:

1. Должна ли ребалансировка проводиться периодически через фиксированные промежутки времени, либо нужно проводить ребалансировку всякий раз, когда соотношение активов выходит за пределы определенной величины ("порог ребалансировки")?
2. Если ответ на первый вопрос – «периодически», то что является оптимальным интервалом (месяц, квартал, год, …)?
3. Есть ли способ предсказать, сколько дополнительного дохода можно получить при ребалансировке, и можно ли идентифицировать активы, которые обеспечивают большее преимущество при ребалансировке?

Например, Марковиц считает, что доходность портфеля равна взвешенной сумме доходностей его отдельных компонентов, но эта формулировка действительна только для портфелей где вообще не применяется ребалансировка. Удивительно, что Марковиц считает доходность портфеля как взвешенную сумму доходностей его компонентов, так как он был первым, кто подал идею, что дисперсия портфеля, или риск, не является взвешенной суммой дисперсий его отдельных компонентов. В Portfolio Selection он представил метод Монте-Карло, в котором фактические доходы были значительно выше, чем ожидаемые доходности, полученные арифметическим путем, но не стал комментировать расхождения.

Простого примера будет достаточно: доходность на рынке акций за период 1926-94 была 10,19%, а для долгосрочных корпоративных облигаций за тот же период - 5,51%. Согласно «доходности по Марковицу» при равных соотношениях этих двух активов, доходность портфеля равна среднему арифметическому, то есть 7,85%. Портфель, ребалансируемый на ежегодной основе, поддерживающий соотношение 50%/50% дает доходность 8,34%. Т.е. «бонус за ребалансировку» в размере 0,49% добавляется к доходности Марковица. Однако, на самом деле, если бы мы положили одинаковое количество денег в акции и облигации 1 января 1926 года и не делали ребалансировку, то в долгосрочной перспективе доходность была бы 9,17%. В этом случае портфель без ребалансировки имеет более высокую доходность, чем ребалансируемый портфель. Это происходит потому, что в течение рассматриваемого 69-летнего периода доходность акций значительно превосходила доходность облигаций. В течение последних 40 лет портфель состоял бы из более чем 90% акций. Таким образом, более высокая доходность портфеля без ребалансировки получается за счет гораздо более высокого риска, чем в случае ребалансировки.

Перольд и Шарп отмечают, что проведение ребалансировки соответствует "вогнутой" стратегии. Страховой портфель представляет собой противоположность ребалансируемому портфелю, и соответствует "выпуклой" стратегии. Они предполагают, что “выпуклая” стратегия страхового портфеля, а также "плоская" стратегия (купить и держать) дает более высокую доходность на рынках с длительным ростом или падением, а “вогнутая” стратегия (соответствующая ребалансировке) дает более высокую доходность на застойных рынках. Если в портфеле присутствуют только два актива, которыми являются акции и облигации, и если доходность акций всегда выше, чем доходности облигаций в течение длительных промежутков времени, то очевидно, что стратегия “покупать и держать”, а также “страховой” портфель, дадут доходность превосходящую доходность портфеля с ребалансировкой. Как уже отмечалось, это будет происходить за счет постепенного увеличения риска портфеля. Тем не менее, все иначе, когда рассматриваешь портфель, состоящий только из акций разных стран. На протяжении очень длительных промежутков времени, как правило, имеется относительно небольшая разница в доходности у большинства национальных фондовых рынков. При таких обстоятельствах доходность ребалансированного портфеля будет доминировать.

Например, если рассматривать период 1970-94, восстановление равновесия в пропорциях различных пар активов почти всегда обеспечивает доход, превосходящий доход портфелей без ребалансировки. Только тогда, когда разница в доходностях, на длинном промежутке времени, между активами превышает 5%, портфели без ребалансировки обеспечивают более высокую доходность, и только ценой повышенного риска. (Исключениями, которые подтверждают правило, являются очень высокие доходы японского акций, а также очень низкая доходность австралийских и итальянских акций.) Следует соблюдать осторожность, отмечая, что превосходство ребалансировки в качестве долгосрочной стратегии работает только применительно к национальным и региональным рынкам в целом, а не среди различных групп промышленности. В течение десятилетий целые отрасли часто исчезают, а другие наоборот процветают, ребалансировка фармацевтических и нефтяных сегментов S&P500 за последние три десятилетия была бы катастрофической стратегии. Хотя национальные рынки иногда и исчезают целиком повсеместно во время войны или национализации, это случается гораздо реже, чем продолжающееся перераспределение сегментов рыночной капитализации, характерной для рыночной экономики.

Оценка бонуса за ребалансировку

Проведем небольшой эксперимент. Давайте рассмотрим портфель, состоящий из двух равных частей активов А и В. Далее предположим, что каждый из них имеет доходность либо + 30% или -10%, с равной вероятностью, и что портфель проходит ребалансировку (приводящую стоимость его активов к 50:50) в конце каждого года. В долгосрочной перспективе доходность каждого актива составляет 8,1665%, а стандартное отклонение 20%.

Если годовые доходности отлично коррелируют (т.е., корреляция = 1), у портфеля, состоящего из активов А и В в равных пропорциях, риск и доходность будут равны риску и доходности каждого отдельного актива, и выигрыш в риске или доходности не будет получен путем диверсификации. Теперь предположим, что имеется нулевая корреляция между доходностями по активам А и В. Это может быть символически представлено доходностями в течение четырех периодов:

Случай 1:

В результате этого эксперимента получаем доходность портфеля равна 9.0794% в год, а стандартное отклонение 14.142%.

Стандартное отклонение портфеля было уменьшено на коэффициент квадратного корня из 2, а дисперсии сократились вдвое, как и было предсказано Марковицем. Тем не менее, мы получаем доходность на 0,9129% выше, чем доходность по Марковицу. Кроме того, эта избыточная доходность не была бы реализована без восстановления равновесия. Таким образом, данный портфель имеет так называемый "бонус за ребалансировку" (далее обозначим его RB - reballancing bonus) в размере 0.9129%. Если вместо этого доходности по активам A и B имеют идеальную обратную корреляцию (г = -1) можно видеть, что доходность портфеля каждый год будет составлять 10%, а стандартное отклонение и дисперсия равна нулю. В этом чисто теоретическом случае, RB будет равен 1,8355%, что более чем в два раза больше чем бонус в случае, когда корреляция равна нулю. Напрашивается вывод, что RB пропорциональна выражению:

1 - Коэффициент корреляции

В дальнейшем давайте обозначим Коэффициент корреляции как С.С.

Предположим теперь, что доходности актива А все еще либо +30%, либо -10%, но доходности актива В теперь могут быть либо 15%, либо 5%. Актив В тогда имеет ожидаемую доходность в размере 9,8863% и стандартное отклонение 5% (половина от стандартного отклонения актива А).

Доходность по Марковицу, для комбинации активов А и B с равными долями, составляет 9,0264% (среднее значение между 8,1665% и 9,8863%)

Рассмотрим случай с нулевой корреляцией:

Случай 2:

Здесь годовая доходность равна 9,5155%, в сравнении с доходностью по Марковицу 9,0264%. Таким образом бонус за ребалансировку для случая 2 составляет 0,4891%.

Дальнейшие эксперименты показывает, что бонус за ребалансировку при любой комбинации двух активов грубо аппроксимируется следующим выражением:

Где X₁, X₂ – веса активов 1 и 2.

Забегая вперед, рассмотрим случай, когда актив с ежегодной доходностью либо +30%, либо -10% смешивают с безрисковым активом, доходность которого всегда равна нулю. Доходность портфеля с весами 50/50 этих двух активов будет либо +15% или -5%. Доходность по Марковицу такого портфеля составляет 4,0833% (среднее значение между 8.1665% и нулем), но действительная доходность равна 4,5227%, где RB = 0.4394%.

Так как стандартное отклонение безрискового актива равно нулю, то полученное выше аппроксимирующее выражение будет равен нулю, значит необходим дополнительный член. Большое количество экспериментов показывает близкую аппроксимацию с выражением:

Таким образом можно постулировать что теоретически бонус за ребалансировку двух активов может быть выражен следующим образом:

Или еще проще:

VAR – дисперсия

COVAR – ковариация

Таким образом можно предположить, что потенциал результата ребалансировки для двух пар активов является разницей между средней дисперсией и ковариацией.

Частота ребалансировки

Хотя всеобщее отношение к процессу ребалансировки довольно заметно, мало внимания уделяется определению оптимальной частоты этого процесса. В одной из статей, посвященных вопросу ребалансировки, Арнотт и Ловелл установили, что на периоде 1968-1991 для портфеля, состоящего 50/50 из акций и облигаций доходность составила 9,02% при ежегодной ребалансировке, 9,12% при ежеквартальной и 9,16% при ежемесячной. Комиссионные издержки несколько сократили преимущество ребалансировки, но несмотря на это даже ежемесячная ребалансировка оказывала положительное влияние на доходность портфеля. Они так же обнаружили, что непериодическая «пороговая» ребалансировка (когда перекос в соотношении активов портфеля превышал 1%, 2% и 5%) приносила бы меньшее преимущество. Они предположили: "За этот период регулярные доходы от ежемесячной ребалансировки превосходили доходы при менее активных подходах. Можно ли сделать вывод, что ежедневная ребалансировка окажется еще лучше? Нельзя утверждать, но это кажется правдоподобным."

Так как на одном периоде времени стандартное отклонение конкретного актива может меняться на разных этапах этого периода, и еще больше может меняться корреляция между парой активов, то используя полученные данные, вы можно вычислить бонус за ребалансировку при разной периодичности этого процесса.

Чтобы проиллюстрировать это приведем конкретные исторические данные по индексам Великобритании, Японии, Continental, US 9-10 decile small stocks (индекс малых компаний США), а так же, MSCI-Emerging Markets Index (индекс развивающихся рынков) с июля 1988 по декабрь 1994. Эти активы были выбраны из-за их низких взаимных корреляций и высоких значений стандартных отклонений.

Значения СКО и попарной корреляции:

В сравнительной таблице используются усредненные данные стандартного отклонения и попарной корреляции, где «м», «к» и «г» - это месячные, квартальные и годовые данные соответственно.

Значения реальных и расчетных RB при месячной, квартальной и годовой ребалансировке:

Исходя из этих данных заключаем следующее:

• Ни один из периодов ребалансировки не доминирует (ежемесячная ребалансировка была лучшей в трех случаях, ежеквартальная в четырех, а годовая в трех).
• Теоретический RB был крайне близок к реальному значению во всех случаях, когда он значительно отличался на разных периодах. В трех случаях ошибка составила менее 0,05%. Таким образом, если на каком-либо периоде коэффициент корреляции оказывался значительно меньше чем на других, то можно с уверенностью говорить о том, что бонус за ребалансировку на нем окажется больше. Примером тому являются результаты по паре JAP SM/MSCI EM.
• Для тех, кто собирается оптимизировать процедуру ребалансировки необходимо четко знать СКО и корреляцию, а также, интервалы времени, на которых эти значения были получены, так как бонус за ребалансировку может значительно различаться для месячной, квартальной и годовой процедуры восстановления баланса.

Очевидно, что реальные портфели будут на много сложнее, чем портфель из пары равновесных активов. Разумно предположить, что по аналогии с формулой Марковица для дисперсии портфеля можно предложить формулу для расчета бонуса за ребалансировку портфеля:

Применяя эту формулу для рассмотренных выше активов в равных долях (20% каждого) получим результаты для разных периодов. Реальный / рассчитанный RB = 1,205% / 1,118% при годовой, 1,542% / 1,556% при квартальной и 1,304% / 1,301% при ежемесячной ребалансировке. СКО портфеля составляет 16,80% на годовых, 13,65% на квартальных и 14,55% на месячных интервалах, что соответствует распределению RB на тех же интервалах. Это не удивительно, так как для расчета RB и дисперсии портфеля, при количестве инструментов больше 2, ковариация является доминирующим компонентом. В будущем необходимо оценить значение бонуса за ребалансировку, рассчитанного по этой формуле, для более сложных портфелей. Может оказаться, что сложные связи между попарными корреляциями и СКО отдельных активов измеренные на более коротких или наоборот более длинных интервалах, окажутся недостаточно стабильными для анализа.

Драгоценные металлы – особый случай

Портфель, собранный из фондов драгоценных металлов, является уникальным - очень низкая доходность на длинных промежутках времени, очень высокая дисперсия и почти нулевая корреляция с остальными классами активов. Поэтому большая часть риска по такому классу активов будет несистемной. При использовании формулы для расчета RB видно, что добавление небольшого количества актива с большой дисперсией и нулевой корреляцией к портфелю с намного меньшей дисперсией увеличивает RB примерно на половину его дисперсии. Другими словами, если дисперсия стандартного портфеля из драгоценных металлов равна 0,1, то его доходность при периодической ребалансировке будет на 5% больше чем доходность на длинном периоде времени без ребалансировки. Инвестор, периодически восстанавливающий баланс такого портфеля, большую часть своего дохода получает из бонуса за ребалансировку. Таким образом, при использовании активов драгоценных металлов инвестор получает не только низкие системные риски, но и более высокий бонус за ребалансировку.

Выводы

• Ожидаемая доходность ребалансируемого портфеля не может быть точно представлена как сумма доходностей его отдельных активов, взятых со своими весами. Это особенно заметно для активов, имеющих высокое стандартное отклонение со слабой корреляцией (к остальным активам портфеля).
• Представленная формула достаточно точно рассчитывает бонус за ребалансировку. Ее аргументами являются стандартные отклонения (либо дисперсии) отдельных инструментов портфеля, и попарные корреляции (либо ковариации) этих инструментов. Так как эти параметры могут быть различными для разных периодов выборки, то формулу для расчета бонуса за ребалансировку можно использовать для нахождения оптимальной частоты восстановления баланса. Анализ представленных данных показывает, что более короткие интервалы для ребалансировки не всегда являются наиболее оптимальными.
• Занимающиеся оптимизацией периода ребалансировки должны принять во внимание, что период рассматриваемых исторических данных имеет значительное влияние на результат. Кроме того, целью оптимизации будет СКО (или другая мера риска) на заданном промежутке.

Файл в формате EXCEL, воспроизводящий основные расчеты, прилагается: