Формулы древних: доходность инвестиций

18 декабря 2014

Автор

Сергей
Кикевич

Как правило, когда мы инвестируем деньги, принято производить оценку успешности инвестиций. Часто такая оценка необходима для выбора между разными проектами или стратегиями. На практике почти всегда необходимо получить количественный результат. Заключение «хорошая инвестиция» мало кого устраивает. Результат количественной оценки может измеряться в единицах валюты или в процентах прироста (убытка) за срок инвестиций. Чаще всего прибыльность инвестиций оценивают за срок действия проекта либо за один год.

Например, если мы инвестировали 1000 руб, а через некоторое время вернули 1100 руб, то прибыль составила 100 руб. или 10%. Если в конце срока вернулись 950 руб, то убыток составил 50 руб. или 5%.

Как оценить результаты таких инвестиций? Если говорить об инвестициях в акции, например, в кризисном 2008 году во время медвежьего рынка, то потеря 5% за год может показаться очень приличным результатом. И наоборот, при инвестициях в благополучные 2005-07 прибыль в 10% можно расценивать как довольно неудачный проект.

При оценке инвестиций на фондовом рынке принято использовать два важных параметра:

• Доход (Income, ENG): обычно это поступления денег в форме купонного дохода от облигаций или дивидендов (в случае с акциями). Прибыль не может быть негативной.
• Изменение рыночной стоимости (Growth, ENG): рост (или падение) стоимости акций или облигаций.

Например, при покупке акций на 1000 руб через год вы получаете дивиденды в 50 руб (5%). Цена акций вырастает до 1100 руб, т.е. увеличивается на 100 руб (10%). В таком случае говорят, что общая прибыль (Total return, ENG) составила 150 руб (100 руб + 50 руб) или 15%.

Следует быть осторожным с публикуемыми в СМИ оценками. Например, часто приходится слышать, например, что индекс ММВБ повысился на 15% за последний год. В таких случаях имеется ввиду только изменение рыночной стоимости входящих в индекс акций без учета дивидендной доходности.

Практически всегда полезно понимать, как соотносится доходность инвестиций с инфляций. Например, если инвестиции принесли 5% годовых, а инфляция за этот период составила 8%, то ваши средства потеряли в покупательной способности.

Номинальная доходность показывает результаты без учета инфляции, а реальная доходность – составляет разницу межу номинальной доходностью и инфляцией. Если нет дополнительных пояснений, то как правило под доходностью понимается номинальная доходность.

С проектами, которые имеют четкие даты начала и конца и не предполагают промежуточных инвестиций или изъятий средств, не возникает сложности. Достаточно разделить полученную в итоге прибыль на размер инвестиции, умножить на 100 и мы получим номинальную доходность в процентах. Но в жизни инвестора не всегда так все просто. Иногда в проект добавляют средства или их изымают, появляются внешние денежные потоки.

Рассмотрим случай, когда в начале срока мы инвестируем 1000 руб, через год добавляем аналогичную сумму (1000 руб). Предположим, через год мы получили прибыль в размере 10%, а во второй год инвестиции показали отрицательную прибыль в -5%. Как оценить доходность такой инвестиции?

Есть два подхода.

Доходность, взвешенная по времени

Этот подход не учитывает размер инвестиций. Принимается внимание только время, когда промежуточная доходность была показана. Таким образом, если за первый год доходность была 10%, а за второй -5%, то итогом будет доходность равная примерно 5%.

Такой подход позволяет быстро сравнить определенную инвестиционную стратегию с другими. Результат такой оценки не обязательно будет точным лично для инвестора, т.к. не учитывают размер промежуточных инвестиций.

Реклама. ООО "МБК Развитие" ИНН 7719849050 Erid:2VtzqxSyAag

Денежно взвешенная доходность

Этот подход учитывает, что во второй год сумма инвестиций была вдвое больше, следовательно вес доходности тоже должен быть вдвое больше (чем за первый период), а итоговый результат приближенно равен 0%.

Действительно, прибыль за первый год составила:

1000 Х 0,1 = 100 руб

Размер инвестиций вырос до 1100 руб. Во второй год мы добавляем еще 1000 руб., т.е. всего имеем

1000 + 1100 = 2100 руб

Убыток за второй год:

2100 Х -0,05 = - 105 руб

Следовательно, за два года общий результат составит:

100 – 105 = - 5 руб (приближенно соответствует 0%)

Как можно видеть, такая оценка более точна для оценки индивидуальных результатов инвестиций.

Следует понимать, что для сравнения инвестиционных стратегий в большинстве случаев подходит расчет доходности, взвешенной по времени.

Расчет доходности за несколько лет инвестиций

Когда накапливается опыт инвестиций, то наиболее удобным способом их оценки становится расчет среднегодовой доходности на основе ежегодных показателей.

Простое среднее

Использование среднего арифметического является самым простым методом, который дает очень приблизительные, но быстрые результаты.

Для расчета достаточно просуммировать все промежуточные ежегодные доходности и результат разделить на количество лет.

Предположим, мы инвестировали 5 лет и ежегодные доходности составили:

Просуммировав эти результаты, мы получим 40%. Для получение среднего арифметического остается разделить на 5. Итогом станет среднегодовая доходность 8%.

Средняя доходность с капитализацией

Точный результат с учетом капитализации составляет 7,5%. В приведенном примере разница небольшая, но с течением лет и ростом доходности капитализация начинает чувствоваться все больше. Как рассчитать результат с учетом капитализации?

Для начала полезно понимать, что каждый год, получив прибыль, мы приумножаем сбережения. Это значит, что начальную сумму инвестиций (А₀) мы умножаем на определенный коэффициент или множитель, который зависит от доходности. Т.е. после первого года мы имеем на счету сумму (А₁) равную произведению А₀ и этого множителя (k₁):

А₁= А₀ х k₁

Очевидно, что в следующие годы взаимодействие начального результата и итога повторяется:

А₂=А₁ х k₂=А₀ х k₁ x k₂

В итоге после произвольного количества лет (N) итоговая сумма на счету составит произведение первоначальной инвестиции и всех последующих коэффициентов:

А= А₀ х k = А₀ х k₁ x k₂ х … х k_N

В случае с банковскими вкладами условия год от года не меняются, следовательно все коэффициенты одинаковые:

А= А₀ х k^N

Теперь считаем прибыль.  Для этого достаточно из итоговой суммы на счете вычесть начальные инвестиции:

А – А₀= А₀ х k₁ x k₂ х … х k_N – А₀ = А₀ (k₁ x k₂ х … х k_N – 1)

Т.к. доходность (D) определяется отношением прибыли к начальной инвестиции, то в итоге получаем довольно простую формулу:

D= k₁ x k₂ х … х k_N – 1

Для получения доходности в процентах достаточно результат умножить на 100.

Если нас интересует среднегодовая доходность (D_y), то из итогового коэффициента (k) следует извлечь корень степени N и вычесть единицу:

D_y = (k^1/N - 1= (k₁ x k₂ х … х k_N)^1/N - 1

Этот результат показывает, какой процент в банке необходимо иметь для получения аналогичного инвестиционного результата. Вообще сравнение с депозитом довольно распространенная практика оценки инвестиций, т.к. депозит является традиционно эквивалентом безрисковой (мало рискованной) инвестиции.

Типичной ошибкой, которую допускают иногда даже продвинутые инвесторы, является получение среднегодовой доходности путем деления общей доходности на количество лет. Правильный результат можно получить только при извлечении корня степени N.

Для полной ясности остается разобраться, как получить коэффициенты. Если помните, мы в начале определили коэффициент k₁ как множитель, определяемый соотношением А₁= А₀ х k₁

Следовательно,

k₁=A₁/А₀=(A₀+A₁-A₀)/A₀=(A₁-A₀)/A₀ + 1

Но соотношение (A₁-A₀)/A₀ это всего лишь доходность первого года (D1), т.е. прибыль разделенная на размер инвестиции.

k₁=D₁+1

Как можно заметить, каждый из коэффициентов определяется как доходность периода (выражаемая при помощи десятичной дроби) увеличенная на единицу.

Для примера рассмотрим предыдущую ситуацию с инвестициями на 5 лет:

Для удобства в таблице мы сразу указали коэффициенты, которые соответствуют доходности за каждый год.

Итоговая доходности составит:

D = 1,05 x 1,10 x 0,92 x 1,12 x 1,21 – 1 = 1,44 – 1 = 0,44 или 44%

Среднегодовая доходность:

D_y = (1,44)^1/5 - 1= 0,75 или 7,5%

Как можно заметить, результат несколько отличается от полученного методом среднего арифметического.

Однако, далеко не всегда разница между точным расчетом и средним арифметическим малозаметна. Разберем еще один пример.

Предположим первый год инвестиции принесли 100%  (1,0) а во второй год мы потеряли 50% (0,5). Простое среднее нам даст среднегодовую доходность:

D_y = (1-0,5)/2 = 0,25 или 25%

Среднегодовая доходность с капитализацией:

D_y = ((1+1,0) x (1 – 0,5))^1/2 – 1 = 0

Результат расчета с капитализацией показывает, что инвестиции принесли нулевой результат. Очевидно, что приближенный подход здесь значительно преувеличивает доходность. Надо сказать, что среднее арифметическое практически всегда ошибается в сторону завышения результата.

Разница при учете капитализации и средним арифметическим увеличивается вместе с волатильностью (непостоянством результатов) инвестиций. Это объясняет тот феномен, когда инвестиции «съедаются» сильными колебаниями рынка. При потере в 50% рынок должен вырасти на 100% просто чтобы компенсировать результат.

Пример расчета доходности для депозитов

Предположим, мы разместили средства в банке под 12% годовых с ежегодной капитализацией на 10 лет. 12% эквивалентны доходности в 0,12. Тогда все ежегодные коэффициенты будут равны 1 + 0,12 = 1,12

Для расчета итоговой суммы после закрытия депозита имеем:

А = А₀ х 1,12¹⁰=А₀ х 3,1

Доходность составит:

D = k¹⁰ – 1 = 3,1 – 1 = 2,1 или 210%

Расчеты в EXCEL

Несколько рекомендаций по работе в EXCEL. Для расчета корня степени N следует использовать функцию СТЕПЕНЬ (число; степень). Произведение можно считать при помощи функции ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

В EXCEL довольно удобно работать напрямую с процентами (для этого тип ячейки должен быть «проценты»). Например 1 + 5% = 105%. Для получения итогового коэффициента можно перемножать значения в процентах. В примере с пятилетними инвестициями: 105% x 110% x 92% x 112% x 121% - 1= 44%